කලනය ලෝකයට බිහි කළ විද්වතා භාස්කරාචාර්ය..

Oct 1, 2026 at 04:43 PM

|

Lanka Leader

භාස්කර II (භාස්කරාචාර්ය) යනු බ්‍රහ්මගුප්තගෙන් වසර 500කට පමණ පසු, එනම් ක්‍රි.ව. 12 වන සියවසේදී (ක්‍රි.ව. 1150 දී පමණ) විසූ තවත් ශ්‍රේෂ්ඨ ඉන්දීය ගණිතඥයෙකු සහ තාරකා විද්‍යාඥයෙකි. ඔහු බ්‍රහ්මගුප්ත ඉදිරිපත් කළ මූලික ගුරුත්වාකර්ෂණ අදහස් තවදුරටත් පුළුල් කරමින්, සිය සුප්‍රසිද්ධ “සිද්ධාන්ත ශිරෝමණී” නම් ග්‍රන්ථයේ "ගෝලාධ්‍යාය" නම් පරිච්ඡේදය තුළ මේ පිළිබඳව ඉතා පැහැදිලි විද්‍යාත්මක විග්‍රහයක් සිදු කළේය. සර් අයිසැක් නිව්ටන්ට වසර 500කට පෙර, භාස්කර II විසින් ගුරුත්වාකර්ෂණය සහ ආකාශ වස්තූන්ගේ පැවැත්ම ගැන ප්‍රකාශ කළ ප්‍රධාන කරුණු මෙසේය. 

පෘථිවියේ සහජ ආකර්ෂණ බලය (Inherent Attractive Property): භාස්කර II සිය ග්‍රන්ථයේ ශ්ලෝක මඟින් ගුරුත්වාකර්ෂණ බලයේ ස්වභාවය මෙසේ පැහැදිලිව අර්ථ දැක්වූ පරිදි "පෘථිවිය සතුව සහජ ආකර්ෂණ ශක්තියක් පවතී. පෘථිවිය විසින් අභ්‍යවකාශයේ ඇති බර වස්තූන් විශේෂ බලයකින් තමා වෙතට ඇද ගනියි. මේ හේතුව නිසා, එම වස්තූන් පෘථිවිය මතට වැටෙන බවක් අපට පෙනේ. "ඔහු පෘථිවියේ මෙම ඇද ගැනීමේ ගුණය හැඳින්වීම සඳහා "මරුත් ආකර්ෂණ ශක්ති" (Attractive Force) වැනි සංකල්ප භාවිත කළේය.

ග්‍රහලෝක අභ්‍යවකාශයේ රඳා පවතින බලය (Celestial Balance): එකල මිනිසුන් ඇසූ ප්‍රධාන ප්‍රශ්නයක් වූයේ පෘථිවියට ගුරුත්වාකර්ෂණ බලයක් ඇත්නම් සහ සියල්ල පහළට වැටේ නම්, පෘථිවිය සහ අනෙක් ග්‍රහලෝක අවකාශයේ වැටෙන්නේ නැතිව රඳා පවතින්නේ කෙසේද යන්නයි. භාස්කර II ඊට මෙසේ පිළිතුරු දුන්නේය. “විශ්වයේ ඇති විවිධ ග්‍රහලෝක සහ ආකාශ වස්තූන් එකිනෙකා කෙරෙහි මෙම ආකර්ෂණ බලය පවත්වනවා." අවකාශයේ ඇති වස්තුවක් මත සෑම දිශාවකින්ම එක හා සමාන ආකර්ෂණ බලයන් ක්‍රියාත්මක වන විට (Equal forces from all sides), එම වස්තුවට කිසිදු නිශ්චිත දිශාවකට වැටීමට නොහැකි වී එය අවකාශයේ සමතුලිතව රඳා පවතී. මෙය නූතන භෞතික විද්‍යාවේ එන "සමතුලිත බල" (Balanced Forces) පිළිබඳ සංකල්පයට බෙහෙවින් සමාන වේ.

බ්‍රහ්මගුප්ත සහ භාස්කර II අතර වෙනස: බ්‍රහ්මගුප්ත එදා ප්‍රකාශ කළේ වස්තූන් පෘථිවියට වැටීම පෘථිවියේ "ස්වභාවයක්" (Nature) පමණක් බවයි. එනමුත් භාස්කර II එය තවදුරටත් දියුණු කරමින්, එය පෘථිවිය විසින් ප්‍රායෝගිකව යොදන "විශේෂිත ඇද ගැනීමේ බලයක්" (Specific Force) ලෙස හඳුන්වා දීමට සමත් විය. භාස්කර II ගේ මෙම සුවිශේෂී විග්‍රහයන් නිසා, නිව්ටන්ට පෙර ලෝක ඉතිහාසයේ ගුරුත්වාකර්ෂණයේ භෞතික විද්‍යාත්මක ස්වභාවය වඩාත්ම ක්‍රමවත්ව විස්තර කළ පෙරදිග විද්‍යාඥයා ලෙස ඔහු සැලකේ.

"ලීලාවතී" යනු ලෝක ගණිත ඉතිහාසයේ ලියැවුණු වඩාත්ම සුන්දර, කාව්‍යමය සහ අද්විතීය ගණිත ග්‍රන්ථය ලෙස සැලකෙනවා. මෙය භාස්කර II විසින් ක්‍රි.ව. 1150 දී රචිත සිද්ධාන්ත ශිරෝමණී මහා කෘතියේ පළමු කොටසයි. ඔහු මෙම ග්‍රන්ථය නම් කළේ තමාගේ එකම දියණිය වූ "ලීලාවතී" සිහිපත් වීම පිණිසයි. මෙම ග්‍රන්ථය බිහිවීම පිටුපස ඇති සංවේදී ඓතිහාසික කතාව සහ එහි ඇති ගණිතමය සුවිශේෂතා මෙසේය.

ලීලාවතී ග්‍රන්ථය බිහිවීමේ ඓතිහාසික පුවත: ජ්‍යොතිෂය සහ තාරකා විද්‍යාව පිළිබඳ මහා ප්‍රඥාවක් තිබූ භාස්කර, තම දියණිය වන ලීලාවතීගේ කේන්ද්‍රය පරීක්ෂා කිරීමේදී ඇයට විවාහ ජීවිතයක් අහිමි වීමේ (වැන්දඹු වීමේ) ග්‍රහ අපලයක් ඇති බව දැනගත්තේය. මෙම අපලය මඟහරවා ගැනීම සඳහා ඔහු ඉතාමත් සුවිශේෂී, සුභ මංගල නැකතක් (Good Omen) සකස් කළේය. එකල කාලය මැනීම සඳහා භාවිතා කළේ "ඝටිකා යන්ත්‍රය" (ජලය පිරවූ භාජනයක් මත තබන ලද, පතුලේ කුඩා සිදුරක් ඇති තඹ බඳුනක්) නමැති ජල ඔරලෝසුවයි. විවාහයට පෙර කුතුහලයෙන් යුතුව මෙම ජල ඔරලෝසුව දෙස බලා සිටි ලීලාවතීගේ මංගල ඇඳුමේ තිබූ සුවිශේෂී මුතු ඇටයක් ගිලිහී, නොදැනුවත්වම ඔරලෝසුවේ සිදුර මත වැටී එය අවහිර විය. මේ හේතුවෙන් කාලය වැරදී, සුභ නැකත මඟහැරී ගිය අතර ඇයට විවාහ වීමට නොහැකි විය. තම දියණිය බලවත් සේ කනගාටුවට පත් වූ මොහොතේ, භාස්කර ඇය අමතා මෙසේ පැවසීය. "දියණියනි, කනගාටු නොවන්න. මම ඔබේ නමින් මහා ග්‍රන්ථයක් ලියන්නෙමි. ලෝකය පවතින තාක් කල් මිනිසුන් ඔබේ නම ගෞරවයෙන් උච්චාරණය කරනු ඇත." 

කාව්‍යමය ස්වරූපයෙන් ගණිතය ඉගැන්වීම: මෙම පොතේ ඇති සුවිශේෂීම ලක්ෂණය වන්නේ ගණිත ගැටලු ඉදිරිපත් කර ඇත්තේ වියළි සූත්‍ර ලෙස නොව, සොබාදහම, සතුන්, මල් සහ ගැහැණු ළමයින් උපමා කරගනිමින් සුන්දර ශ්ලෝක ස්වරූපයෙනි. භාස්කර සිය දියණියට ආමන්ත්‍රණය කරමින් ප්‍රශ්න අසන ආකාරයෙන් කෘතිය රචනා කර තිබෙනවා. එක් ප්‍රසිද්ධ උදාහරණයක් (ශ්ලෝකයක සිංහල පරිවර්තනය): "පින්වත් ලීලාවතී, හංස රංචුවකින් අඩක් වැව අසල කෙළිදෙලෙන් පසුවෙති. ඉතිරි පිරිසෙන් හයෙන් පංගුවක් (1/6) නෙළුම් මල් අසල ලැගුම් ගෙන සිටිති. තවත් හංස ජෝඩුවක් (2) ජලයේ පිහිනමින් සිටිති. එසේ නම්, මුළු හංස රංචුවේ සිටින හංසයන් සංඛ්‍යාව කොපමණදැයි මට පවසන්න. (ගණිතමය විසඳුම: මුළු හංසයන් ගණන x නම්, x/2 + x/2 + 2  = 6)

"ලීලාවතී" කෘතියේ අඩංගු ගණිතමය විෂය කරුණු වනුයේ මෙම ග්‍රන්ථය සරල අංක ගණිතයේ සිට උසස් වීජ ගණිතය දක්වා පුළුල් පරාසයක විහිදෙයි. 

• මූලික ගණිත කර්ම: එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම, බෙදීම මෙන්ම වර්ගමූල සහ ඝනමූල සෙවීම. 

• ශ්‍රේණි (Progressions): අංක ගණිතමය සහ ජ්‍යාමිතික ශ්‍රේණිවල එකතුව සෙවීම. 

• ත්‍රිකෝණමිතිය සහ ජ්‍යාමිතිය: පයිතගරස් ප්‍රමේයයේ ප්‍රායෝගික යෙදීම් සහ සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණවල ගණනය කිරීම්. 

• සංයෝජන (Permutations & Combinations): විවිධ වස්තූන් එකතු කර සෑදිය හැකි වෙනස්ම රටාවන් ගණන සෙවීම.

• බින්දුවේ භාවිතය: බින්දුවෙන් ගුණ කිරීමේදී සහ බෙදීමේදී සිදුවන දේ තවදුරටත් විස්තර කිරීම. 

ලීලාවතී ග්‍රන්ථය හරහා භාස්කර II ඔප්පු කළේ ගණිතය යනු කණගාටුදායක හෝ අපහසු විෂයක් නොව, කවියක් මෙන් රසවිඳිය හැකි සුන්දර විෂයක් බවයි. පසුව මෙම පොත අක්බර් රජුගේ කාලයේදී (ක්‍රි.ව. 1587 දී) පර්සියානු භාෂාවට ද පරිවර්තනය කරනු ලැබීය. 

භාස්කර II (භාස්කරාචාර්ය) විසින් නූතන කලනය (Calculus) විෂයෙහි මූලිකාංග, බටහිර විද්‍යාඥයන්ට වසර 500කට පමණ පෙර සොයාගනු ලැබූ බව විද්‍යා ඉතිහාසඥයන් පිළිගත්තේය. සර් අයිසැක් නිව්ටන් සහ ගොට්ෆ්‍රයිඩ් ලයිබ්නිස් විසින් 17 වන සියවසේදී කලනය නිල වශයෙන් හඳුන්වා දීමට පෙර, භාස්කර II සිය සිද්ධාන්ත ශිරෝමණී කෘතිය හරහා ඊට අදාළ මූලධර්ම ප්‍රකාශයට පත් කෙළේය. ඔහු විසින් කලනය සහ තාරකා විද්‍යාව විෂයෙහි තැබූ සුවිශේෂී පියවරයන් මෙසේය.

ක්ෂණික ප්‍රවේගය පිළිබඳ සංකල්පය (Instantaneous Velocity): තාරකා විද්‍යාත්මක ගණනය කිරීම්වලදී ග්‍රහලෝකවල චලිතය (Motion) නිවැරදිව තේරුම් ගැනීමට භාස්කර II උත්සාහ කළේය. එහිදී ඔහු ප්‍රවේගය (Velocity) වර්ග දෙකකට බෙදා දැක්වීය. ස්ථූල ගති යනු සාමාන්‍ය වේගය (Average Speed) වන අතර සූක්ෂ්ම ගති යනු  ක්ෂණික වේගය (Instantaneous Speed) වේ. යම් වස්තුවක වේගය ඉතාමත් කුඩා කාල සීමාවක් තුළ වෙනස් වන ආකාරය ගණනය කිරීමට ඔහු උත්සාහ කළ අතර, මෙය නූතන විභේදක කලනයේ (Differential Calculus) මූලිකම පදනම වේ. 

රෝල්ගේ ප්‍රමේයයේ මුල්ම ආකෘතිය (Early form of Rolle's Theorem): නූතන කලනයේ එන ප්‍රධාන ප්‍රමේයයක් වන්නේ "රෝල්ගේ ප්‍රමේයය" (Rolle's Theorem) යන්නයි. එනමුත් මීට වසර 500කට පෙර භාස්කර II විසින් ප්‍රකාශ කළේ, කිසියම් ශ්‍රිතයක් (Function) එහි උපරිම අගයට (Maximum value) හෝ අවම අගයට (Minimum value) පත් වන ස්ථානයේදී, එහි වෙනස් වීමේ සීග්‍රතාව හෙවත් විභේදකය (Derivative) ශුන්‍ය (\[0\]) වන බවයි. ඔහු මෙය ග්‍රහලෝකවල චලිතය ඇසුරින් පෙන්වා දුන් අතර, ග්‍රහලෝකයක් එහි කක්ෂයේ ඉහළම ස්ථානයට පැමිණි මොහොතේදී එහි ක්ෂණික චලිතයේ වෙනස් වීම තාවකාලිකව නැවතී ශුන්‍ය වන බව පැහැදිලි කළේය.

ගෝලයක මතුපිට වර්ගඵලය සහ පරිමාව (Integration): වක්‍ර වස්තූන්ගේ වර්ගඵලය සෙවීම සඳහා භාස්කර II භාවිතා කළේ නූතන අනුකලන කලනයට (Integral Calculus) සමාන උපක්‍රමයකි. ඔහු ගෝලයක මතුපිට ඉතා කුඩා කොටස් විශාල ගණනාවකට (Infinitesimal pieces) බෙදා, එම කුඩා කොටස්වල වර්ගඵල එකතු කිරීම මඟින් සමස්ත ගෝලයේ වර්ගඵලය සෙවීමේ ක්‍රමවේදයක් ඉදිරිපත් කළේය. ඔහු ගෝලයක වර්ගඵලය සහ පරිමාව (Volume) සෙවීම සඳහා ලබාගත් අගයන් නූතන සූත්‍රවලින් ලැබෙන අගයන්ට සර්වසම වේ.

තාරකා විද්‍යාත්මක සොයාගැනීම් (Astronomical Achievements): භාස්කර II ගේ කලන උපක්‍රම තාරකා විද්‍යාවේ ප්‍රගතියට සෘජුවම දායක විය. වසරක නිවැරදි දිග යනු පෘථිවිය සූර්යයා වටා යාමට ගතවන කාලය දින 365.2588 ක් ලෙස ඔහු ගණනය කළේය. එය නූතන විද්‍යාත්මක අගයට අතිශය සමීප වේ. ග්‍රහණ අනාවැකි (Eclipses) සහ සූර්ය සහ චන්ද්‍ර ග්‍රහණ සිදුවන වේලාවන් මෙන්ම ග්‍රහලෝක එකිනෙක හමුවන අවස්ථාවන් (Conjunctions) ඉතා නිවැරදිව පුරෝකථනය කිරීමට ඔහු සමත් විය. බ්‍රහ්මගුප්ත විසින් දමන ලද අත්තිවාරම මත හිඳිමින් භාස්කර II විසින් ගොඩනැඟූ මෙම ගණිත ක්‍රමවේද, නූතන විද්‍යාවේ කොඳු නාරටිය බඳු වූ "කලනය" විෂයෙහි ලොව තැබූ මුල්ම සහ ප්‍රබලම පියවර සනිටුහන් කරයි.

භාස්කර II (භාස්කරාචාර්ය) විසින් සිය සිද්ධාන්ත ශිරෝමණී ග්‍රන්ථය හරහා නූතන කලනය (Calculus) විෂයෙහි තැබූ මුල්ම සහ ප්‍රබලම පියවරයන් පිළිබඳව විද්‍යා ඉතිහාසය ඇසුරින් ගැඹුරින් අධ්‍යයනය කරමු. බටහිර ලෝකයේ සර් අයිසැක් නිව්ටන් සහ ගොට්ෆ්‍රයිඩ් ලයිබ්නිස් 17 වන සියවසේදී කලනය නිල වශයෙන් හඳුන්වා දීමට වසර 500කට පෙර, භාස්කර II විසින් එළිදැක්වූ සුවිශේෂී ගණිතමය පියවරයන් මෙසේය: 

'තත්කාලික ගති' (Instantaneous Velocity) සංකල්පය: භාස්කර II ට පෙර විසූ තාරකා විද්‍යාඥයන් ගණනය කළේ ග්‍රහලෝකවල සාමාන්‍ය ප්‍රවේගය (Average Speed) පමණි. නමුත් ග්‍රහලෝකවල වේගය නිරන්තරයෙන් වෙනස් වන බව වටහාගත් ඔහු වර්ග දෙකක චලිතයන් හඳුන්වා දුන්නේය. ස්ථූල ගති යනු සාමාන්‍ය වේගය වන අතර තත්කාලික ගති යනු කිසියම් නිශ්චිත ක්ෂණයක පවතින වේගය (Instantaneous Velocity) වේ. යම් වස්තුවක පිහිටීම ඉතාමත් කුඩා කාල සීමාවක් (Infinitesimally small interval) තුළ වෙනස් වන ආකාරය ගණනය කිරීමට ඔහු උත්සාහ කළ අතර, මෙය නූතන විභේදක කලනයේ (Differential Calculus) මූලිකම පදනම වේ. 

සයින් ශ්‍රිතයේ විභේදකය (Derivative of Sine Function) සෙවීම: ග්‍රහලෝකවල දෛනික චලිතය සහ පිහිටීම නිවැරදිව සෙවීම සඳහා භාස්කර II විසින් ගණිතමය ශ්ලෝකයක් ඉදිරිපත් කළේය. එය නූතන ත්‍රිකෝණමිතික විභේදක සූත්‍රයට සර්වසම වේ: (d(sin x)= cos x. dx). ලෝක ඉතිහාසයේ ප්‍රථම වතාවට ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක විභේදකයක් (Derivative) නිවැරදිව සොයාගනු ලැබුවේ භාස්කර II විසිනි. 

රෝල්ගේ ප්‍රමේයය (Rolle's Theorem) කලින්ම හඳුනා ගැනීම: නූතන කලනයේ එන ප්‍රධාන ප්‍රමේයයක් වන රෝල්ගේ ප්‍රමේයයෙන් කියවෙන්නේ, කිසියම් ශ්‍රිතයක් (Function) එහි උපරිම හෝ අවම අගයට ළඟා වූ විට, එහි වෙනස් වීමේ සීග්‍රතාව (Derivative/Slope) ශුන්‍ය (0) වන බවයි. භාස්කර II සිය ග්‍රන්ථයේ මෙසේ පැහැදිලිව සඳහන් කර තිබුණා: "කිසියම් විචල්‍යයක් (Variable) එහි උපරිම අගයට ළඟා වූ මොහොතේදී, එහි වැඩි වීමේ සීග්‍රතාවය නැතිවී යයි (ශුන්‍ය වේ)." ඔහු මෙය භාවිතා කළේ ග්‍රහලෝකයක් සිය කක්ෂයේ ඉහළම ස්ථානයට (Apogee) පැමිණි විට එහි ක්ෂණික වේගයේ වෙනස් වීම තාවකාලිකව ශුන්‍ය වන බව පෙන්වා දීමටයි. 

අනුකලනය (Integration) ඇසුරින් ගෝලයක වර්ගඵලය සෙවීම: භාස්කර II විසින් ගෝලයක මතුපිට වර්ගඵලය සහ පරිමාව සෙවීම සඳහා භාවිතා කළේ නූතන අනුකලන කලනයට (Integral Calculus) බෙහෙවින් සමාන "ජ්‍යොත්පත්ති" නමැති උපක්‍රමයකි. ඔහු ගෝලයක මතුපිට ඉතාමත් කුඩා, සියුම් තීරු (Infinitesimal segments) විශාල ගණනාවකට බෙදුවා.ඉන්පසු එම සෑම කුඩා තීරුවකම වර්ගඵලය සොයා, ඒවා සියල්ල එකට එකතු කිරීම (Summation) මඟින් සමස්ත ගෝලයේ වර්ගඵලය (4π r² ) සෙවීමේ සූත්‍රය ගොඩනැගුවා. 

ඔහුට කලනයේ සම්පූර්ණ ගෞරවය හිමි නොවූයේ ඇයි?: භාස්කර II කලනයේ මූලධර්ම සහ උපක්‍රම ඉතා නිවැරදිව වටහාගෙන ඒවා ප්‍රායෝගික තාරකා විද්‍යා ගැටලු විසඳීමට යොදාගත්ත ද, ඔහු එය නිව්ටන් මෙන් සමස්ත ගණිත විෂය පථයටම පොදු වූ එක් ඒකාබද්ධ සූත්‍ර පද්ධතියක් සහ සංකේත ක්‍රමවේදයක් (Mathematical Notation) ලෙස ගොඩනැගුවේ නැත. එබැවින් ඔහු කලනයේ "නිල සොයාගන්නා" ලෙස නොසැලකුණත්, නූතන කලනයට මඟ පෑදූ ශ්‍රේෂ්ඨතම පුරෝගාමියා ලෙස ලෝකය ඔහුව පිළිගනියි.

භාස්කර II විසින් රචිත සිද්ධාන්ත ශිරෝමණී මහා කෘතිය හරහා (එයට අයත් ලීලාවතී, බීජගණිත, ග්‍රහගණිත සහ ගෝලාධ්‍යාය යන කොටස් හතරෙන්ම) එතෙක් ලෝකයා නොදැන සිටි හෝ ක්‍රමවත්ව විග්‍රහ කර නොතිබූ නව විද්‍යාත්මක සහ ගණිතමය කරුණු රැසක් එළිදැක්වූවා. මෙම ග්‍රන්ථය මඟින් ලොවට හඳුන්වා දුන් ප්‍රධානතම නව කරුණු මෙසේය.

ශුන්‍යයෙන් (0) බෙදීම සහ අනන්තය (Infinity): බ්‍රහ්මගුප්ත විසින් ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් බින්දුවෙන් බෙදූ විට පිළිතුර බින්දුවක් වන බව පවසා වැරදි නිගමනයකට පැමිණ තිබුණා. භාස්කර II විසින් එම මතය නිවැරදි කරමින් නව සංකල්පයක් ලොවට හඳුන්වා දුන්නේය. "ඛහර" (Khahara) සංකල්පය: ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් බින්දුවෙන් බෙදූ විට ලැබෙන පිළිතුර අනන්ත අගයක් (An infinite quantity) වන බව ඔහු ප්‍රකාශ කළේය.  ඔහු එය හැඳින්වූයේ "ඛහර" යනුවෙනි. විශ්වය විනාශ වන අවස්ථාවකදීවත් වෙනස් නොවන මහා දෙවියන් මෙන්, මෙම අනන්ත අගයට යමක් එකතු කළත් හෝ අඩු කළත් එහි අගය වෙනස් නොවන බව ඔහු පෙන්වා දුන්නෙය.  

සෘණ සංඛ්‍යාවල වර්ගමූලය (Square Root of Negative Numbers): වීජ ගණිතය තුළ සෘණ සංඛ්‍යා භාවිතය පිළිබඳව නව මානයක් ඔහු එළිදැක්වීය. වර්ගමූලයක් නොමැති වීම යනු ධන සංඛ්‍යාවක මෙන්ම සෘණ සංඛ්‍යාවක ද වර්ගය (Square) සැමවිටම ධන සංඛ්‍යාවක් වන නිසා, සෘණ සංඛ්‍යාවකට සැබෑ වර්ගමූලයක් (Square root) පැවතිය නොහැකි බව ඔහු මුලින්ම පෙන්වා දුන්නේය. මෙය නූතන සංකීර්ණ සංඛ්‍යා (Complex Numbers) විෂයෙහි ආරම්භයයි. 

පෙල් සමීකරණ සඳහා "චක්‍රවාල ක්‍රමය" (Chakravala Method): සංකීර්ණ වර්ගජ සමීකරණ (බටහිර ලෝකයේ 'පෙල් සමීකරණ' ලෙස හඳුන්වන) විසඳීම සඳහා භාස්කර II විසින් "චක්‍රවාල" (Cyclic Method) නමැති නව ක්‍රමවේදයක් ඉදිරිපත් කළේය. යුරෝපීය ගණිතඥයන් වූ ලග්‍රාන්ජ් සහ ෆර්මා වැන්නවුන් වසර 500කට පසුව සොයාගත් ක්‍රමවේදයන්ට වඩා භාස්කරගේ මෙම චක්‍රීය ක්‍රමය අතිශය සරල සහ දක්ෂ එකක් බව නූතන ගණිතඥයන් පිළිගන්නේය. 

ත්‍රිකෝණමිතියේ නව සූත්‍ර (Trigonometric Identities): ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයන් එකිනෙක එකතු කිරීමේදී සහ අඩු කිරීමේදී ලැබෙන අගයන් සඳහා ඔහු නව සූත්‍ර එළිදැක්වීය. අද අප උසස් පෙළ ගණිතයට ඉගෙන ගන්නා Sin(A + B) සහ Sin(A - B) සඳහා වන සූත්‍ර ලොවට මුලින්ම ඉදිරිපත් කළේ භාස්කරයි. 

පෘථිවියේ ගුරුත්වාකර්ෂණ බලය සහ ග්‍රහලෝක සමතුලිතතාව: බ්‍රහ්මගුප්ත පැවසූ ආකර්ෂණ ගුණය, පෘථිවිය විසින් අවකාශයේ ඇති වස්තූන් තමා වෙත ඇදගන්නා "සුවිශේෂී බලයක්" ලෙස භාස්කර නව විග්‍රහයක් දුන්නේය. එමෙන්ම අවකාශයේ ඇති ග්‍රහලෝක මත සෑම දෙසින්ම සමාන ආකර්ෂණ බල ක්‍රියාත්මක වන නිසා ඒවා කිසිදු දෙසකට නොවැටී සමතුලිතව පවතින බව (Balanced Forces) ඔහු මුලින්ම ලොවට කියා දුන්නේය. භාස්කර II ගේ මෙම කෘතිය එතෙක් පැවති ගණිතය සහ තාරකා විද්‍යාව ඊළඟ මට්ටමට ඔසවා තැබූ, නූතන කලනය, අනන්තය, සහ ත්‍රිකෝණමිතිය වැනි විෂයන් රැසක උපත සනිටුහන් කළ මහා කරුණු පද්ධතියක් එළිදැක්වූ ග්‍රන්ථයකි. 

භාස්කර II (භාස්කරාචාර්ය) විසින් ලියන ලද ප්‍රධානතම මහා කෘතිය වන්නේ සිද්ධාන්ත ශිරෝමණී ග්‍රන්ථයයි. මෙය ඔහු වයස අවුරුදු 36 දී (ක්‍රි.ව. 1150 දී) ලියා අවසන් කළේය. මෙම මහා ග්‍රන්ථය එකිනෙකට වෙනස් විෂය පථයන් ආවරණය කරන ප්‍රධාන කොටස් හතරකින් සමන්විත වන අතර, ගණිත ඉතිහාසයේ මෙම කොටස් හතර වෙනමම ස්වාධීන පොත් හතරක් ලෙස ද සලකනු ලබන්නේය. 

• ලීලාවතී: අංක ගණිතය, ප්‍රායෝගික ජ්‍යාමිතිය සහ සංයෝජන පිළිබඳව ලියැවුණු කාව්‍යමය ග්‍රන්ථයයි.

• බීජගණිත: උසස් වීජ ගණිතය, සෘණ සංඛ්‍යා, බින්දුව, අනන්තය සහ සංකීර්ණ සමීකරණ විසඳන ක්‍රම ඇතුළත් පොතයි.

• ග්‍රහගණිත: ග්‍රහලෝකවල චලිතය, ඒවායේ වේගය සහ තාරකා විද්‍යාත්මක ගණනය කිරීම් (කලන උපක්‍රම ද ඇතුළුව) පිළිබඳව ලියැවුණු කොටසයි.

• ගෝලාධ්‍යාය: පෘථිවියේ ගෝලාකාර ස්වභාවය, ගුරුත්වාකර්ෂණය, ආකාශ ගෝලය සහ භූගෝල විද්‍යාව පිළිබඳව විස්තර කෙරෙන කොටසයි.

ඔහු විසින් ලියන ලද අනෙකුත් සුවිශේෂී පොත්: සිද්ධාන්ත ශිරෝමණී මහා කෘතියට අමතරව භාස්කර II විසින් තවත් වැදගත් පොත් කිහිපයක්ම රචනා කර තිබේ. කරණ කෞතූහල යනු භාස්කර සිය ජීවිතයේ අවසන් කාලයේදී, එනම් වයස අවුරුදු 69 දී (ක්‍රි.ව. 1183 දී) ලියූ තාරකා විද්‍යාත්මක අත්පොතකි. මෙහි සූර්ය සහ චන්ද්‍ර ග්‍රහණ සිදුවන වේලාවන්, ග්‍රහලෝක එකිනෙක මුණගැසෙන අවස්ථාවන් ඉතා සරල ක්‍රමවේද ඔස්සේ ඉක්මනින් ගණනය කරන ආකාරය දින දර්ශන සකසන්නන් (Calendar makers) උදෙසා පියවරෙන් පියවර විස්තර කර ඇත. වාසනා භාෂ්‍ය භාස්කර II විසින්ම සිය "සිද්ධාන්ත ශිරෝමණී" කෘතියේ එන සංකීර්ණ ශ්ලෝක සහ සූත්‍ර වඩාත් සරලව වටහා දීම සඳහා ලියන ලද ස්වයං විවේචනාත්මක ටීකාවකි. විවරණ නම් ග්‍රන්ථය ක්‍රි.ව. 10 වන සියවසේදී විසූ ලල්ලා නම් තාරකා විද්‍යාඥයා ලියූ ශිෂ්‍යධිවිද්ධිතන්ත්‍ර නම් ග්‍රන්ථය වඩාත් පැහැදිලි කිරීම සඳහා භාස්කර විසින් ලියන ලද තවත් ප්‍රසිද්ධ ටීකා ග්‍රන්ථයකි. භාස්කර II ගේ මෙම සියලුම කෘති එකල ඉන්දියාවේ ප්‍රධානතම තාරකා විද්‍යා කේන්ද්‍රස්ථානය වූ උජ්ජයින් නුවර නිරීක්ෂණාගාරයේ ප්‍රධානියා ලෙස කටයුතු කරමින් ඔහු ලැබූ ප්‍රායෝගික අත්දැකීම් ඇසුරින් ලියැවුණු ඒවාය.

භාස්කර II සිය ජීවිතයේ අවසන් භාගයේදී (ක්‍රි.ව. 1183 දී) රචනා කළ "කරණ කෞතූහල" කෘතිය තාරකා විද්‍යා ඉතිහාසයේ ඉතාමත් ප්‍රායෝගික අත්පොතක් ලෙස සැලකීය. ඔහු මීට පෙර ලියූ සිද්ධාන්ත ශිරෝමණී කෘතිය ඉතාමත් දීර්ඝ සහ සංකීර්ණ ගණිත න්‍යායන්ගෙන් පිරී තිබූ නිසා, සාමාන්‍ය දින දර්ශන සකසන්නන්ට සහ තාරකා විද්‍යාඥයන්ට ග්‍රහලෝකවල පිහිටීම් සහ ග්‍රහණ (Eclipses) ඉක්මනින් ගණනය කිරීමට එය අපහසු විය. ඒ වෙනුවට සරල සහ වේගවත් කෙටි ක්‍රම (Shortcuts) හඳුන්වා දීම සඳහායි ඔහු මෙම පොත ලිව්වේ. "කරණ කෞතූහල" පොත තුළ සූර්ය ග්‍රහණ සහ චන්ද්‍ර ග්‍රහණ පිළිබඳව එළිදැක්වූ ප්‍රධාන කරුණු මෙසේය.

• නිරවද්‍ය වේලාවන් ගණනය කිරීම: ග්‍රහණයක ආරම්භය (Contact), උපරිම අවස්ථාව (Totality) සහ අවසානය (Release) සිදුවන වේලාවන් මිනිත්තු සහ තත්පර දක්වා ඉතා සියුම්ව ගණනය කළ හැකි සරල වීජ ගණිතමය සමීකරණ මෙහි අඩංගු විය.

• ග්‍රහණයේ ප්‍රමාණය (Magnitude of Eclipse): සූර්යයා හෝ චන්ද්‍රයා ග්‍රහණයට ලක්වන විට, එහි කොපමණ ප්‍රතිශතයක් (ප්‍රමාණයක්) වැසී යන්නේද යන්න (Partial or Total eclipse) ගණනය කිරීමේ ක්‍රමවේද මෙහි පෙන්වා දුන්නේය.

• ලම්බනය (Parallax) නිවැරදි කිරීම: සූර්ය ග්‍රහණයකදී පෘථිවියේ විවිධ ස්ථානවලට පෙනෙන වේලාවන් වෙනස් වීමට බලපාන 'ලම්බනය' (Parallax) නැමැති සංකීර්ණ තාරකා විද්‍යාත්මක සංසිද්ධිය, ඉතා සරල ජ්‍යාමිතික ක්‍රම මඟින් නිවැරදි කරගන්නා ආකාරය ඔහු පැහැදිලි කළේය.

• රාහු සහ කේතු පිළිබඳ විද්‍යාත්මක මතය: එකල සමාජයේ පැතිර තිබූ මිථ්‍යා මතයක් වූයේ 'රාහු' සහ 'කේතු' නැමැති අසුරයන් විසින් සූර්යයා සහ චන්ද්‍රයා ගිල දැමීම නිසා ග්‍රහණ සිදුවන බවයි. එනමුත් භාස්කර II මෙම පොත හරහා ද එය ප්‍රතික්ෂේප කළ අතර, රාහු සහ කේතු යනු සරලවම "පෘථිවි කක්ෂය සහ චන්ද්‍ර කක්ෂය එකිනෙක ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍ය දෙක" (Lunar Nodes) පමණක් බවත්, චන්ද්‍රයාගේ සෙවනැල්ල පෘථිවිය මතට වැටීමෙන් සූර්ය ග්‍රහණ ද, පෘථිවියේ සෙවනැල්ල චන්ද්‍රයා මතට වැටීමෙන් චන්ද්‍ර ග්‍රහණ ද සිදුවන බවත් තහවුරු කළේය.

භාස්කර II (භාස්කරාචාර්ය) ගේ කෘති බ්‍රහ්මගුප්තගේ පොත් මෙන් අරාබි හෝ ලතින් භාෂාවලට සෘජුවම පරිවර්තනය වූයේ නැත. මෙහිදී ඉතිහාසයේ සිදුවූ සුවිශේෂී වෙනස වටහා ගැනීම වැදගත්ය. අරාබි සහ ලතින් පරිවර්තන රැල්ල සිදු වූයේ ක්‍රි.ව. 8 වන සියවසේ සිට 12 වන සියවස දක්වා කාලය තුළයි. බ්‍රහ්මගුප්තගේ කෘති (ක්‍රි.ව. 7 සියවස) අරාබි බසටත්, පසුව ලතින් බසටත් පරිවර්තනය වූයේ එම මහා පරිවර්තන යුගය තුළ ඔහුගේ පොත් පවතිමින් තිබූ බැවිනි. එනමුත් භාස්කර II ජීවත් වූයේ ක්‍රි.ව. 12 වන සියවසේ (ක්‍රි.ව. 1150 දී පමණ) ය. ඔහු සිය පොත් ලියා අවසන් කරන විට, යුරෝපයේ සහ අරාබි ලෝකයේ මහා අරාබි-ලතින් පරිවර්තන රැල්ල අවසන් වෙමින් පැවතුණි. එබැවින්, භාස්කර II ගේ සිද්ධාන්ත ශිරෝමණී හෝ කරණ කෞතූහල කෘති එකල අරාබි බසට හෝ ලතින් බසට පරිවර්තනය වූයේ නැත. 

පසුව සිදු වූ පරිවර්තන:කෙසේ වෙතත්, ඔහුගේ කෘතිවල තිබූ ඉහළ වටිනාකම නිසා පසුකාලීනව වෙනත් භාෂාවලට පරිවර්තනය විය. පර්සියානු පරිවර්තන (Persian Translations) යනු ක්‍රි.ව. 16 වන සියවසේදී (මූඝල් අධිරාජ්‍ය යුගයේදී) අක්බර් රජුගේ සහ ෂා ජහෑන් රජුගේ අනුග්‍රහය ඇතිව, 'ෆයිසි' සහ 'අතාඋල්ලා රෂ්දී' වැනි විද්වතුන් විසින් භාස්කරගේ ලීලාවතී සහ බීජගණිත යන පොත් පර්සියානු භාෂාවට පරිවර්තනය කරන ලදී. අමතරව ඉංග්‍රීසි පරිවර්තන (English Translations) ක්‍රි.ව. 1817 දී හෙන්රි තෝමස් කෝල්බෲක් නැමැති බ්‍රිතාන්‍ය විද්වතා විසින් භාස්කරගේ කෘති ප්‍රථම වතාවට ඉංග්‍රීසි භාෂාවට පරිවර්තනය කිරීමෙන් පසුවයි බටහිර ලෝකය ඔහුගේ කලන සහ වීජ ගණිත ඥානය පිළිබඳව නිල වශයෙන් දැනගත්තේ. බ්‍රහ්මගුප්තගේ දැනුම අරාබි-ලතින් මඟින් යුරෝපයට ගිය අතර, භාස්කර II ගේ දැනුම ඉන්දියාව තුළම සංරක්ෂණය වී පැවතී පසුව පර්සියානු සහ ඉංග්‍රීසි මාර්ගයෙන් ලෝකයට විවෘත විය.

- ඩැනිස්ටර් පෙරේරා

(මුහුණු පොතින් උපුටා ගන්නා ලදී)